Двоичное кодирование числовой информации. Представление числовой информации в компьютере.

Представление чисел в формате с фиксированной запятой. Целые числа в компьютере хранятся в памяти в формате с фиксированной запятой. В этом случае каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, а «запятая» «находится» справа после младшего разряда, то есть вне разрядной сетки.

Для хранения целых неотрицательных чисел отводится одна ячейка памяти (8 битов). Например, число А2 = 111100002 будет храниться в ячейке памяти следующим образом:

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех ячейках хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно:

2n – 1.

Определим диапазон чисел, которые могут храниться в оперативной памяти в формате целых неотрицательных чисел. Минимальное число соответствует восьми нулям, хранящимся в восьми битах ячейки памяти, и равно нулю. Максимальное число соответствует восьми единицам и равно:

А = 1·27+1·26+1·25+1·24+1·23+1·22+1·21+1·20 = 1·28 – 1 = 25510.

Диапазон изменения целых неотрицательных чисел: от 0 до 255.

Для хранения целых чисел со знаком отводится две ячейки памяти (16 битов), причем старший (левый) разряд отводится под знак числа (если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если отрицательное – 1).

Представление в компьютере положительных чисел с использованием формата «знак-величина» называется прямым кодом числа. Например, число 200210 = 111110100102 будет представлено в 16-разрядном представлении следующим образом:

Максимальное положительное число (с учетом выделения одного разряда на знак) для целых чисел со знаком в n-разрядном представлении равно:

2n-1 – 1.

Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код. Дополнительный код позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его быстродействие.

Дополнительный код отрицательного числа А, хранящегося в n ячейках, равен 2n – |А|.

Для получения дополнительного кода отрицательного числа можно использовать довольно простой алгоритм:

1.         Модуль числа записать в прямом коде в n двоичных разрядах.

2.         Получить обратный код числа, для этого значения всех битов инвертировать (все единицы заменить на нули и все нули заменить на единицы).

3.         К полученному коду прибавить единицу.

Запишем дополнительный код отрицательного числа –2002 для 16-разрядного компьютерного представления:

При n-разрядном представлении числа А в дополнительном коде старший разряд выделяется для хранения знака числа (единицы).

При n-разрядном представлении отрицательного числа А в дополнительном коде старший разряд выделяется для хранения знака числа (единицы). В остальных разрядах записывается положительное число

2n–1 – |A|.

Максимальное значение модуля числа А в n-разрядном представлении равно:

|A| = 2n–1.

Тогда минимальное отрицательное число равно:

А = – 2n–1.

Определим диапазон чисел, которые могут храниться в оперативной памяти в формате длинных целых чисел со знаком (для хранения таких чисел отводится четыре ячейки памяти – 32 бита).

Максимальное положительное целое число (с учетом выделения одного разряда на знак) равно:

А = 231 – 1 = 2 147 483 64710.

Минимальное отрицательное целое число равно:

А = – 231 = – 2 147 483 64810.

Достоинством представления чисел в формате с фиксированной запятой являются простота и наглядность представления чисел, а также простота алгоритмов реализации арифметических операций.

Недостатком представления чисел с фиксированной запятой является небольшой диапазон представления величин, недостаточный для решения математических, физических, экономических и других задач, в которых используются как очень малые, так и очень большие числа.

Представление чисел в формате с плавающей запятой. Вещественные числа хранятся и обрабатываются в компьютере в формате с плавающей запятой. В этом случае положение запятой в записи числа может изменяться.

Формат чисел с плавающей запятой базируется на экспоненциальной форме записи, в которой может быть представлено любое число. Так число А может быть представлено в виде:

А = m · qn,

где m – мантисса числа;

q – основание системы счисления;

n – порядок числа.

Для единообразия представления чисел с плавающей запятой используется нормализованная форма, при которой мантисса отвечает условию:

1/n ≤ |m| < 1.

Это значит, что мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля.

Преобразуем десятичное число 555,55 записанное в естественной форме, в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой:

555,55 = 0,55555 · 103.

Здесь нормализованная мантисса: m = 0,55555, порядок: n = 3.

Число в формате с плавающей запятой занимает в памяти компьютера 4 (число обычной точности) или 8 байтов (число двойной точности). При записи числа с плавающей запятой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Диапазон изменения чисел определяется количеством разрядов, отведенных для хранения порядка числа, а точность (количество значащих цифр) определяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы.

Определим максимальное число и его точность для формата чисел обычной точности, если для хранения порядка и его знака отводится 8 разрядов, а для хранения мантиссы и ее знака – 24 разряда:

Максимальное значение порядка числа составит 11111112 = 12710, и, следовательно, максимальное значение числа составит:

2127 = 1,7014118346046923173168730371588 · 1038.

Максимальное значение положительной мантиссы равно:

223 – 1 ≈ 223 = 2(10 · 2,3) ≈ 10002,3 = 10(3 · 2,3) ≈ 107.

Таким образом максимальное значение чисел обычной точности вычислений составит 1,701411·1038 (количество значащих цифр десятичного числа в данном случае ограниченно 7 разрядами).