Позиционные и непозиционные системы счисления. Запись чисел в позиционных системах счисления.

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всех хорошо известных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определённым правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от её положения в числе , а в непозиционных – не зависит.

Римская непозиционная система счисления. Самой распространённой из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр в ней используются: I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), M (1000).

Значение цифры не зависит от её положения в числе. Например, в числе ХХХ (30) цифра Х встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину – число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется. Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть так:

МСМХСVIII = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10)+5+1+1+1

Позиционные системы счисления. Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причём вавилонская нумерация была шестидесятеричной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр! Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60 (в 1 минуте содержится 60 секунд, а в 1 часе – 60 минут).

В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы часто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов и так далее.

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от её позиции в числе.

Наиболее распространёнными в настоящее время позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позиционная система счисления имеет определённый алфавит цифр и основание.

В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в её алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.

Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, так называемых арабских, цифр, и основание, равное 10, двоичная две цифры и основание 2, восьмеричная – 8, шестнадцатеричная – шестнадцать цифр (в качестве цифр используются и буквы латинского алфавита) и основание 16 (табл. 2.2).

Десятичная система счисления. Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается трижды, причём самая правая цифра 5 обозначает пять единиц, вторая справа – пять десятков и, наконец, третья справа – пять сотен.

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. В десятичной системе цифра, находящаяся в крайней права позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра, смещённая на одну позицию влево, - количество десятков, ещё левее – сотен, затем тысяч и так далее. Соответственно имеем разряд единиц, разряд десятков и так далее.

Число 555 записано в привычной для нас свёрнутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10.

В развёрнутой форме записи числа такое умножение записывается в явной форме. Так, в развёрнутой форме запись числа 555 в десятичной системе будет выглядеть так:

55510 = 5·102 + 5 ·101 + 5 ·100.

Как видно из примера, число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания. Например, число 555,55 в развёрнутой форме записывается следующим образом:

555,5510 = 5·102 + 5 ·101 + 5 ·100 + 5 ·10-1 + 5 ·10-2.

В общем случае в десятичной системе счисления запись числа А10, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, выглядит так:

A10 = аn-1 ·10n-1 + … + a0 ·100 + a-1 ·10-1 + … + a-m ·10-m.

Коэффициенты аi в этой записи являются цифрами десятичного числа, которое в свёрнутой форме записывается так:

A10 = аn-1an-2 … a0,a-1 … a-m.

Из вышеприведённых формул видно, что умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющую целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево. Например:

555,5510  · 10 = 5555,510;

555,5510  : 10 = 55,55510.

Двоичная система счисления. В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развёрнутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.

Например, развёрнутая запись двоичного числа может выглядеть так:

А2 = 1·22 + 0 ·21 + 1 ·20 + 0 ·2-1 + 1 ·2-2.

Свёрнутая форма этого же числа:

А2 = 101,012.

В общем случае в двоичной системе запись числа А2, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, выглядит так:

A2 = аn-1 ·2n-1 + аn-2 ·2n-2 + … + a0 ·20 + a-1 ·2-1 + … + a-m ·2-m.

Коэффициенты аi в этой записи являются цифрами (0 или 1) двоичного числа, которое в свёрнутой форме записывается так:

A2 = аn-1an-2 … a0,a-1a-2 … a-m.

Из вышеприведённых формул видно, что умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющую целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево. Например:

101,012  · 2 = 1010,12;

101,012  : 2 = 10,1012.

Позиционные системы счисления с произвольным основанием. Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2. В системах счисления с основанием q (q-ичная система счисления) числа в развёрнутой форме записывается в виде суммы степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, …, q-1:

Aq = аn-1 ·qn-1 + аn-2 ·qn-2 + … + a0 ·q0 + a-1 ·q-1 + … + a-m ·q-m.

Коэффициенты аi в этой записи являются цифрами числа, записанного в q-ичной системе счисления.

Так, в восьмеричной системе основание равно восьми (q = 8). Тогда записанное в свёрнутой форме восьмеричное число А8 = 673,28 в развёрнутой форме будет иметь вид:

А8 = 6·82 + 7 ·81 + 3 ·80 + 2 ·8-1.

В шестнадцатеричной системе основание равно шестнадцати (q = 16), тогда записанное в свёрнутой форме шестнадцатеричное число А16 = 8А,F16 в развёрнутой форме будет иметь вид:

А16 = 8·161 + А ·160 + F ·16-1.

Если выразить шестнадцатеричные цифры через их десятичные значения (А = 10, F = 15), то запись числа примет вид:

А16 = 8·161 + 10 ·160 + 15 ·16-1.